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三点一线

数海拾贝2018-11-07 13:50:12


已知 分别为 的外心、重心和垂心,求证: 三点共线,且


本题为著名的欧拉线定理,即:
三角形的外心、重心和垂心在一条直线上,且外心和重心的距离是重心和垂心的距离的一半.

欧拉线定理的证明方法多种多样,今天任性的选择一种不常见的方法来证明.我们都知道欧拉线定理中重要的数量关系是通过三角形相似得到的,所谓不常见的方法不过是证相似的方法不同罢了.

证明    连接 ,则 ;取 中点 ,连接 ,则 ;连接 交于点 ,则
欲证 三点共线,且
只要证明点 与点 重合, 的相似比为 即可.
我们知道三角形的中位线与第三边的比为 ,所以构造中位线 ,得
连接 ,则
,可得

所以

由三角形重心的唯一性,可得点 即为重心
所以 三点共线,且


注    从本题的证明过程中还可以得到:三角形的一个顶点到垂心的距离,是外心到对边距离的 倍.

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